黎曼 zeta 函数及其幂的低伪矩

黎曼 zeta 函数 $\alpha$ 次幂的 $2 q$ 阶伪矩 $\Psi_{2q,\alpha}(x)$ 定义为临界线上 $\zeta^\alpha$ 截至 $x$ 的部分和的 $2 q$ 阶矩。利用 Harper 的概率方法，我们证明了当 $q \le \frac{1}{2}$ 且 $\alpha \ge 1$ 时这些伪矩的上界与下界。结合 Bondarenko、Heap 与 Seip 的结果，这些界确定了所有 $q > 0$ 且 $\alpha \ge 1$ 的伪矩的大小，精确到 $\log \log x$ 的幂次，其中 $x$ 为部分和的长度，并且结果表明存在三种具有不同增长行为的范围。特别地，这些结果给出了对所有 $q > 0$ 的 $\Psi_{2 q, 1}(x)$ 的量级。