黎曼ζ函数的伪矩

按照Conrey和Gamburd的定义，黎曼ζ函数$\zeta(s)$的$2k$阶伪矩是$\zeta(s)$在临界线上的部分和的$2k$阶积分矩。对于固定的$k>1/2$，已知这些矩增长如$(\log N)^{k^2}$，其中$N$是部分和的长度，但当$k\le 1/2$时，真实的量级仍未知。我们推导出新的Hardy-Littlewood不等式，并应用其中一个改进了$k\to\infty$时的早期渐近估计。在$k<1/2$的情况下，我们考虑$\alpha>1$时$\zeta^{\alpha}(s)$的伪矩，以及早期工作中已知的下界$(\log N)^{k^2\alpha^2}$是否给出了真实的增长率这一问题。利用Harper、Nikeghbali和Radziwi{\l\l}近期工作的思路以及Harper的一些概率估计，我们得到了一个略显意外的结果：当$k<1/e$且$N$足够大时，这些伪矩的下界为$\log N$的幂次，其指数大于$k^2\alpha^2$。