自守 $L$-函数的有效无对数零点密度估计与 Sato-Tate 猜想

设 $K/\mathbb{Q}$ 为一个数域。设 $\pi$ 与 $\pi^\prime$ 分别为 $\mathrm{GL}_d(\mathbb{A}_K)$ 与 $\mathrm{GL}_{d^\prime}(\mathbb{A}_K)$ 的尖点自守表示，并假设 $d$ 与 $d'$ 均不超过 2，或者 $\pi$ 与 $\pi^\prime$ 中至少有一个是自对偶的。当 $d=d^\prime=2$ 时，我们证明了 Rankin-Selberg $L$-函数 $L(s,\pi\otimes\pi^\prime,K)$ 的一个无条件且有效的无对数零点密度估计。对于其他 $d$ 与 $d^\prime$ 的选择，我们假设 $\pi$ 或 $\pi^\prime$ 满足广义 Ramanujan 猜想，得到了类似结果。利用这些密度估计，我们将 Moreno 关于短区间中素数的 Hoheisel 现象有效化，并将其推广到 Sato-Tate 猜想的情境；此外，我们类比 Linnik 关于算术级数中最小素数的定理，给出了 Sato-Tate 猜想中最小素数的界。当 $K=\mathbb{Q}$ 时，我们还证明了关于 $L(s,\pi\otimes\pi^\prime,\mathbb{Q})$ 在 Dirichlet 特征标扭曲下平均的无对数密度估计。利用这第二个密度估计，我们证明了当 $\pi$ 是 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ 的尖点自守表示时，$L(s,\pi\otimes\tilde{\pi},\mathbb{Q})$ 在短区间中素数定理的平均形式。