Rankin-Selberg L 函数的 Tatuzawa 定理

设 $\pi$ 和 $\pi'$ 为数域 $F$ 上的 $\mathrm{GL}(n)$ 和 $\mathrm{GL}(n')$ 的单元 cuspidal 自同构表示。我们建立了所有 $\mathrm{GL}(1)$-扰动的 Rankin-Selberg L 函数 $L(s,\pi\times\pi')$ 的新型零自由区，推广了 Tatuzawa 对 Dirichlet L 函数的修正性工作。作为推论，我们显示，对于所有 $\varepsilon>0$，存在一个有效可计算常数 $c>0$，仅取决于 $(n,n',[F:\mathbb{Q}],\varepsilon)$，使得 $L(s,\pi\times\pi')$ 在区域 $$\mathrm{Re}(s)\geq 1-c/(C(\pi)C(\pi')(|\mathrm{Im}(s)|+1))^{\varepsilon},$$ 中最多只有一个零点（必为简单零点），其中 $C(\pi)$ 和 $C(\pi')$ 为分析导数。我们证明的关键组成部分是对任意 $\mathrm{GL}(1)$-扰动的 $L(s,\pi\times\widetilde{\pi})$ 的新型标准零自由区，除非存在单个可能的异常零点（必为实数且为简单零点），该异常零点仅在 $\pi\otimes\chi^2=\pi$ 时才可能出现。这扩展了 Humphries 和 Thorner 的早期工作。