无对数零密度估计与$L$-函数系数的小间隙

设$L(s, \pi\times\pi^\prime)$为附着于自守表示$\pi$和$\pi^\prime$的 Rankin--Selberg $L$-函数。设$\tilde{\pi}$和$\tilde{\pi}^\prime$表示与$\pi$和$\pi^\prime$相关的 contragredient 表示。在假设$L(s, \pi\times\tilde{\pi})$和$L(s, \pi^\prime\times\tilde{\pi}^\prime)$的对数导数系数存在某些上界的前提下，我们证明了$L(s, \pi\times\pi^\prime)$的无对数零密度估计，该结果推广了 Fogels 在 Dirichlet $L$-函数背景下的结果。随后，我们利用这一无对数估计来研究自守表示$\pi$的 Fourier 系数的分布。作为一个应用，我们考察了权为$k$、级为$N$、特征为$\chi$的模新形式$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} b_f(n) e^{{2\pi i n z}}$的 Fourier 系数$b_f(p)$的非稀疏性。更确切地说，对于$f(z)$和素数$p$，设$j_f(p):=\max_{x;~x> p} J_{f} (p, x)$，其中$J_{f} (p, x):=\#\{{\rm prime}~q;~a_{\pi}(q)=0~{\rm for~all~}p<q\leq x\}.$我们证明了对于某个$0<\theta<1$，有$j_f(p)\ll_{f, \theta} p^\theta$。