分圆塔中的 Rankin-Selberg L-函数，III

设 $\pi$ 为全实数域 $F$ 上 $\operatorname{GL}_2$ 的尖点自守表示。设 $K$ 为 $F$ 的全虚二次扩张。我们估计与 $\pi$ 乘以由 $K$ 的 Hecke 特征标诱导的表示相关联的 $\operatorname{GL}_2 \times \operatorname{GL}_2$ Rankin-Selberg $L$-函数的中心值，其中这些 Hecke 特征标仅在 $F$ 的给定素理想 $\mathfrak{p}$ 处分歧。具体而言，我们利用移位卷积和的谱分解以及与真实和非真实 metaplectic 形式的 Fourier-Whittaker 系数的关系，通过对给定确切阶的本原环类特征标进行平均，获得了非零估计。当 $\pi$ 对应于算术权 $k \geq 2$ 的全纯 Hilbert 模形式时，我们结合 Shimura 的有理性定理以及合适的 $\mathfrak{p}$-进 $L$-函数的存在性，推导出了更精细的结果。这使我们能够将 Rohrlich、Vatsal 以及 Cornut-Vatsal 的定理推广到该设定中。最后，在一个自包含的附录中，我们解释了如何利用这些结果，通过现有的 Iwasawa 主猜想整除性，推导相关 $\operatorname{GL}_2$ 型阿贝尔簇的 Mordell-Weil 秩的界。