球面主表示的 Rankin-Selberg 周期

通过展开法，${\rm GL}(n)\times{\rm GL}(m)$ 的 Rankin-Selberg L-函数可以用周期积分表示。这些周期积分实际上在相关自守表示的张量积上定义了不变形式。根据 Sun-Zhu 和 Chen-Sun 的重数一定理，此类不变形式在标量倍数的意义下是唯一的，因此可以与等价主表示上的不变形式相关联。我们为 ${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ 的球面主表示构造了此类不变形式的亚纯族，并猜想它们在球面向量处的特殊值在绝对值上与相应 L-函数的阿基米德局部 L-因子一致。我们在若干情况下验证了这一猜想。这项工作可被视为 Bernstein-Reznikov 利用周期积分表达式估计 L-函数的技术两步中的第一步。