$\mathrm{GL}(n)$的谱互反性与中心$L$-值的同步非零

设$F$为全实数域且$n\ge 3$。设$\Pi$和$\pi$分别为$\mathrm{PGL}_{n+1}(F)$和$\mathrm{PGL}_{n-1}(F)$的尖形式自守表示，且在所有有限位非分歧且 tempered。我们证明了对某些随$\sigma$在$\mathrm{PGL}_n(F)$的尖形式自守表示序列上变化（其导子在层级方面趋于无穷并满足特定局部条件）时，Rankin--Selberg $L$-值$L(1/2,\Pi\otimes\widetilde{\sigma})$与$L(1/2,\sigma\otimes\widetilde{\pi})$的同步非零性。在此过程中，我们还证明了关于$\sigma$的导子方面族上Rankin--Selberg $L$-函数$L(1/2,\Pi\otimes\widetilde{\sigma})L(1/2,\sigma\otimes\widetilde{\pi})$乘积平均的互反公式。