D. H. Lehmer 猜想的玩具模型

1947 年，Lehmer 猜想 Ramanujan $\tau$ 函数 $\tau (m)$ 对所有正整数 $m$ 都永不为零，其中 $\tau (m)$ 是权为 12 的尖点形式 $\Delta_{24}$ 的傅里叶系数。Lehmer 于 1947 年对 $m<214928639999$ 验证了该猜想。1973 年，Serre 验证至 $m<10^{15}$，而 1999 年 Jordan 和 Kelly 验证至 $m<22689242781695999$。球面 $t$-设计理论，特别是那些作为欧几里得格壳层的理论，与模形式理论密切相关，这最早由 Venkov 于 1984 年证明。特别地，Ramanujan 的 $\tau$ 函数给出了 $E_{8}$ 格的加权 theta 级数的系数。Venkov、de la Harpe 和 Pache 证明了 $\tau (m)=0$ 等价于 $E_{8}$ 格的范数为 $2m$ 的壳层是一个 8-设计。因此，Lehmer 猜想被用球面 $t$-设计重新表述。Lehmer 猜想很难证明，目前仍然悬而未决。在本文中，我们考虑了 Lehmer 猜想的玩具模型。即，我们证明了当 $\mathbb{Z}^2$ 格和 $A_{2}$ 格的范数为 $m$ 的壳层不是空集时，其加权 theta 级数的第 $m$ 个傅里叶系数不为零。换言之，在 $\mathbb{Z}^2$ 格（分别对应 $A_{2}$ 格）的壳层中不存在球面 5-设计（7-设计）。