二元 Hamming 结合方案上紧相对 2-设计的存在性

众所周知，“欧几里得 t-设计与球面 t-设计”与“二元 Hamming 结合方案中的相对 t-设计与组合 t-设计”之间存在密切类比。在本文中，我们想要证明在后者情况下，模仿前者的理论，我们能发展到何种程度。我们首先证明，对于一大类 Q-多项式结合方案（包括 Hamming 结合方案）中 p 个壳上的紧相对 t-设计，权重函数在每个壳上是常数。在 2 个同心球（壳）上的欧几里得 t-设计理论中，已知一致配置的结构是自然附加的。然而，在一般背景下证明这一主张似乎很困难。在组合 2-设计中的紧 2-设计的情况下，存在大量紧 2-设计，即对称 2-设计，而对于 $e\ge 2$ 的紧 $2e$-设计则非常少。因此，作为起点，我们集中研究二元 Hamming 结合方案 $H(n,2)$ 中紧相对 2-设计的存在性问题，特别是在 2 个壳上。我们证明 $H(n,2)$ 中 2 个壳上的每个紧相对 2-设计都具有一致配置的结构。我们确定了 $n\le 30$ 时附加到这种紧相对 2-设计的一致配置的所有可能参数。此外，对于每个参数，我们通过从对称 2-设计或 Hadamard 矩阵构造，或理论上证明不存在，来确定是否存在这样的紧相对 2-设计。特别地，我们证明对于 $n\equiv 6 \pmod{8}$，存在这样的紧相对 2-设计，其权重函数不是常数。这些是第一个具有非常数权重的例子。