超立方体两球壳上的紧相对$t$-设计及Hahn与Hermite多项式

$n$维超立方体$\mathcal{Q}_n$中的相对$t$-设计等价于加权正则$t$-平衡设计，其通过允许多种区组大小与权重推广了组合$t$-$(n,k,\lambda)$设计。部分受近期关于两同心球面上紧Euclidean $t$-设计研究的启发，本文讨论$\mathcal{Q}_n$中支撑于两球壳上的紧相对$t$-设计。我们在温和条件下证明此类相对$t$-设计诱导出具有两纤维的相干构型结构。进而，由该结构推得Hahn超几何正交多项式族中某多项式必仅有整数单零点。Terwilliger代数乃是建立这些结果的主要工具。通过在适当极限过程中显式考察Hahn多项式退化为Hermite多项式时的零点行为，我们证明了一个定理，该定理部分表明支撑于两球壳上的非平凡紧相对$t$-设计对大$t$而言是稀有的。