关于紧欧几里得$6$-设计：一个实验结果

一个有限集$X \seq \RR^n$连同权函数$w : X \longrightarrow \RR_{>0}$被称为$\RR^n$中的（由$p$个同心球面支撑的）\emph{欧几里得$t$-设计}，如果以下条件成立：$$\sum_{i=1}^p \frac{w(X_i)}{|S_i|}\int_{S_i} f(\boldsymbol x)d\sigma_i(\boldsymbol x) =\sum_{\boldsymbol x \in X}w(\boldsymbol x) f(\boldsymbol x),$$ 对于任意次数至多为$t$的多项式$f(\boldsymbol x) \in \mbox{Pol}(\RR^n)$。这里$S_i \seq \RR^n$是半径为$r_i \geq 0$的球面，$X_i=X \cap S_i$，且$\sigma_i(\boldsymbol x)$是$S_i$上的$O(n)$-不变测度，使得$|S_i|=r_i^{n-1}|S^{n-1}|$，其中$|S_i|$是$S_i$的表面积，$|S^{n-1}|$是$\RR^n$中单位球面的表面积。最近，Bajnok（2006）在平面（$n=2$）上对任意$t$和$p$构造了紧欧几里得$t$-设计。本文我们证明，对于$t=6$和$p=2$的情况，Bajnok构造的紧欧几里得$6$-设计是$\RR^n$中唯一的配置，其中$2 \leq n \leq 8$。