关于调和指数t的球面设计之更多研究

单位球面$S^{n-1} \subseteq \mathbb{R}^n$上的有限子集$Y$被称为调和指数$t$的球面设计，如果满足以下条件：$\sum_{\mathbf{x}\in Y}f(\mathbf{x})=0$对所有$t$次实齐次调和多项式$f(x_1,\ldots,x_n)$成立。同样，对于$\mathbb{N} = \{1,2,\cdots \}$的子集$T$，有限子集$Y\subset S^{n-1}$被称为调和指数$T$的球面设计，如果$\sum_{\mathbf{x}\in Y}f(\mathbf{x})=0$对所有满足$k\in T$的$k$次实齐次调和多项式$f(x_1,\ldots,x_n)$成立。在本文中，我们首先研究调和指数$t$（或调和指数$T$）球面设计大小的Fisher型下界。我们也研究调和指数$t$或指数$T$的“紧”球面设计。这里“紧”意味着$Y$的大小达到了该Fisher型不等式的下界。调和指数$t$的紧球面设计分类问题由Bannai-Okuda-Tagami (2015)开始，$t = 4$的情形由Okuda-Yu (2015+)完成。在本文中，我们展示了调和指数6和8的紧球面设计的分类（不存在性），以及对于一般$e\geq 3$，调和指数$2e$的紧球面设计的渐近不存在性。我们还研究了一些$T$的调和指数$T$的紧球面设计的存在性问题，特别包括指数$T = \{8,4\}$。我们使用了(i) Delsarte的线性规划方法，(ii) Gegenbauer多项式零点位置及局部极小值的详细信息，(iii) Hiroshi Nozaki将关于2-距离集的Larman-Rogers-Seidel定理推广到$s$-距离集的结果，(iv) 椭圆丢番图方程理论，以及(v) 用于消除某些小维度2-角线系统的半定规划方法。