关于欧氏 $t$-设计

如 Neumaier 和 Seidel (1988) 所引入的，欧氏 $t$-设计是一个有限集 ${\cal X} \subset \mathbb{R}^n$，带有一个权函数 $w: {\cal X} \rightarrow \mathbb{R}^+$ ，使得对于每一个总次数至多为 $t$ 的多项式 $f$，$$\sum_{r \in R} W_r \overline{f}_{S_{r}} = \sum_{{\bf x} \in {\cal X}} w({\bf x}) f({\bf x})$$ 成立；此处 $R$ 是 ${\cal X}$ 中点的范数集合，$W_r$ 是 ${\cal X}$ 中所有范数为 $r$ 的元素的权之和，$S_r$ 是以原点为中心、半径为 $r$ 的 $n$ 维球面，而 $\overline{f}_{S_{r}}$ 是 $f$ 在 $S_r$ 上的平均值。Neumaier 和 Seidel (1988) 以及 Delsarte 和 Seidel (1989) 还证明了 Fisher 型不等式 $|{\cal X}| \geq N(n,|R|,t)$（假设当 $t$ 为奇数时该设计是反极的）。对于固定的 $n$ 和 $|R|$，我们有 $N(n,|R|,t)=O(t^{n-1})$。在本文的第一部分，我们给出了 $\mathbb{R}^n$ 中欧氏 $t$-设计的递归构造。即，我们展示如何利用某些 Gauss--Jacobi 求积公式将 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中的欧氏 $t$-设计“提升”为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的欧氏 $t$-设计，同时保持范数谱 $R$ 以及每个 $r \in R$ 的权和 $W_r$。恰好具有 $N(n,|R|,t)$ 个点的欧氏设计称为紧的。在本文的第二部分，我们为 $n=2$ 以及满足 $|R| \leq \frac{t+5}{4}$ 的每一个 $t$ 和 $|R|$ 构造了紧欧氏设计。我们还给出了紧欧氏设计的例子，其 $(n,|R|,t) \in \{(3,2,5),(3,3,7),(4,2,7)\}$。