素数因子与算术进数定理的对偶性 -- II

在第一篇同名论文中（1977），第一作者利用最大素因子和最小素因子之间的对偶恒等式，结合莫比乌斯函数，导出以下结果作为算术进数定理的一个 consequence：若 $k$ 和 $\ell$ 为正整数，且 $1\le\ell\le k$ 且 $(\ell, k)=1$，则 $$\sum_{n\ge 2,\, p(n)\equiv\ell(mod\,k)}\frac{\mu(n)}{n}=\frac{-1}{\phi(k)},$$ 其中 $\mu(n)$ 为莫比乌斯函数，$p(n)$ 为 $n$ 的最小素因子，$\phi(k)$ 为欧拉函数。在本文中，我们利用下一层对偶恒等式，即第二大素因子和最小素因子之间的对偶关系，涉及莫比乌斯函数和 $\omega(n)$（$n$ 的不同素因子数），导出以下结果作为算术进数定理的一个 consequence：对于所有 $\ell$ 和 $k$ 如上所述，$$\sum_{n\ge 2,\, p(n)\equiv\ell(mod\,k)}\frac{\mu(n)\omega(n)}{n}=0.$$ 证明了该结果的量化版本。