Mircea Merca 一个猜想的证明

我们证明，对于任意素数 $p$ 和满足 $p^r>2$ 的正整数 $r$，使得 $${k\choose k_1,k_2,\ldots,k_n}=p^r,\quad \text{且}\quad k_1+2k_2+\cdots+nk_n=n,$$ 成立的多项式系数个数由 $$\delta_{p^r,\,k}\left(\left\lfloor\frac{n-1}{p^r-1}\right\rfloor -\delta_{0,\,n\bmod p^r} \right)$$ 给出，其中 $\delta_{i,j}$ 是 Kronecker delta，$\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。这证实了 Mircea Merca 最近提出的一个猜想。