一些多项式系数之和的 p 进赋值

设 $m$ 和 $n>0$ 为整数。假设 $p$ 是整除 $m-4$ 但不整除 $m$ 的素数。我们证明 $\nu_p(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k}{m^k})$ 和 $\nu_p(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k})$ 至少为 $\nu_p(n)$，其中 $\nu_p(x)$ 表示 $x$ 的 $p$ 进赋值。此外，若 $p>3$，则 $$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\bi{2k}k}{m^k}=\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{\nu_p(m-4)})$$ 且 $$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k}=\frac{C_{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{\nu_p(m-4)}),$$ 其中 $C_k$ 表示 Catalan 数 $\binom{2k}{k}/(k+1)$。这蕴含了 Guo 和 Zeng [GZ] 的几个猜想。我们还提出了两个猜想，并证明 $n>1$ 是素数当且仅当 $$\sum_{k=0}^{n-1}multinomial{(n-1)k}{k,...,k}=0 (mod n),$$ 其中 $multinomial{k_1+...+k_{n-1}}{k_1,...,k_{n-1}}$ 表示多项式系数 $(k_1+...+k_{n-1})!/(k_1!... k_{n-1}!)$。