关于 Schenker 和的 $p$-进赋值的注记

如果存在 $n\in\mathbb{N}_+$ 使得 $p\nmid n$ 且 $p\mid a_n$，则素数 $p$ 被称为 Schenker 素数，其中 $a_n = \sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{j!}n^j$ 是所谓的 Schenker 和。T. Amdeberhan、D. Callan 和 V. Moll 提出了两个关于当 $p$ 为 Schenker 素数时 $a_n$ 的 $p$-进赋值的猜想。特别是，他们询问对于每个 $k\in\mathbb{N}_+$，是否存在唯一的正整数 $n_k<p^k$，使得对于每个非负整数 $m$，都有 $v_p(a_{m\cdot 5^k + n_k})\geq k$。我们证明了对于每个 $k\in\mathbb{N}_+$，不等式 $v_5(a_n)\geq k$ 在模 $5^k$ 下恰好有一个解。这证实了上述作者提出的第一个猜想。此外，我们证明了如果 $37\nmid n$，则 $v_{37}(a_n)\leq 1$，这意味着上述作者提出的第二个猜想不成立。