关于不含多一角阶梯形的具有 $k$ 个角的整数分拆

我们给出以下由 Carriegos、De Castro-García 和 Muñoz Castañeda 在其关于控制系统计数的工作中所猜想结果的三种证明：当 $\binom{k+1}{2} \le n < \binom{k+2}{2}$ 时，具有 $k$ 个角的 $n$ 的分拆个数与满足 $\binom{k+1}{2} + |\alpha| + |\beta| = n$ 的分拆对 $(\alpha, \beta)$ 的个数相等。