关于分拆的 k-测度与 Durfee 平方

近来，Andrews、Bhattacharjee 与 Dastidar 引入了整数分拆的 $k$-测度概念，并证明了一个令人惊讶的恒等式：具有 $2$-测度 $m$ 的 $n$ 的分拆个数等于具有边长为 $m$ 的 Durfee 平方的 $n$ 的分拆个数。作者要求给出该结果的双射证明，并建议进一步探索当 $k \geq 3$ 时具有 $k$-测度 $m$ 的 $n$ 的分拆个数的性质。在本注记中，我们完成了这些任务。即，我们给出了 Andrews、Bhattacharjee 与 Dastidar 结果的简短组合证明，并利用该证明轻松地将此结果推广到 $k$-测度。