关于 Lin-Peng-Toh 的 k-着色分拆统计量的若干恒等式

近来，Andrews 证明了关于 Beck 引入的分拆统计量的两个猜想。最近，Chern 建立了关于加权秩与 crank 矩的一些结果，并证明了许多 Andrews-Beck 型同余式。受 Andrews 与 Chern 工作的启发，Lin、Peng 与 To 引入了 k-着色分拆的统计量为 $NB_k(r,m,n)$，其计数每个 $n$ 的 k-着色分拆 $\pi$ 中满足 ${\rm crank}_k(\pi)$ 模 $m$ 同余于 $r$ 的 $\pi^{(1)}$ 的各部分总数，并证明了 $NB_k(r,m,n)$ 的若干同余式。在本文中，我们证明了关于 $NB_k(r,m,n)$ 的一些类似于 Ramanujan “最美恒等式”的恒等式。此外，这些恒等式蕴含了 Lin、Peng 与 Toh 所证明的若干同余式。