受限划分函数 $p(n, N)$ 理论中的未踏之路

我们得到了Ramanujan笔记中一个近期推广恒等式的有限类比。对其关于某一参数求导得到一结果,其极限情形给出了Andrews著名 $\textup{spt}(n)$ 恒等式的有限类比。后者促使我们通过获得向量划分的rank与crank以及rank与crank矩的有限类比,来拓展受限划分函数 $p(n, N)$(即最大部分小于等于 $N$ 的 $n$ 的划分个数)的理论。作为我们spt函数有限类比即 $\textup{spt}(n, N)$ 恒等式的应用,我们证明了有限二阶rank矩与crank矩之间的一个不等式。所得其他结果包括Garvan近期恒等式的有限类比、联系 $d(n, N)$ 与lpt$(n, N)$(分别为除数函数与最大部分函数的有限类比)的恒等式,以及Beck-Chern定理的有限类比。我们还猜想了 $k^{\textup{th}}$ rank矩与crank矩有限类比之间的一个不等式。