Andrews-Dyson-Rhoades 关于 spt-crank 猜想的证明

向量划分（或$S$-划分）的 spt-crank 概念由 Andrews、Garvan 和 Liang 引入。令$N_S(m,n)$表示 spt-crank 为$m$的$n$的$S$-划分的数量。Andrews、Dyson 和 Rhoades 猜想对于任意$n$，序列$\{N_S(m,n)\}_m$是单峰的，并表明该猜想等价于普通划分的 rank 与 crank 之间的一个不等式。他们得到了普通划分的 rank 与 crank 之差的渐近公式，这意味着对于充分大的$n$和固定的$m$，有$N_S(m,n)\geq N_S(m+1,n)$。在本文中，我们引入了一种普通划分的表示法，称为$m$-Durfee 矩形符号，这是 Andrews 引入的 Durfee 符号的矩形推广。我们通过考虑两种情况证明了 Andrews、Dyson 和 Rhoades 的猜想。对于$m\geq 1$，我们构造了一个从$n$的普通划分集合（其中$m$出现在 rank 集中）到$n$的 rank 不小于$-m$的普通划分集合的单射。$m=0$的情况需要额外五个单射。我们还表明，该猜想蕴含了 Andrews、Chan 和 Kim 获得的正 rank 矩与 crank 矩之间的一个不等式。