超分拆中 crank 的单峰性

设 $N(m,n)$ 表示秩为 $m$ 的 $n$ 的分拆数，设 $M(m,n)$ 表示 crank 为 $m$ 的 $n$ 的分拆数。Chan 和 Mao 证明了对于任意非负整数 $m$ 和 $n$，$N(m,n)\geq N(m+2,n)$；且对于任意满足 $n\geq12$、$n\neq m+2$ 的非负整数 $m$ 和 $n$，$N(m,n)\geq N(m,n-1)$。近来，Ji 和 Zang 证明了对于 $n\geq 44$ 且 $1\leq m\leq n-1$，$M(m-1,n)\geq M(m,n)$；且对于 $n\geq 14$ 且 $0\leq m\leq n-2$，$M(m,n)\geq M(m,n-1)$。本文将 Ji 和 Zang 的结果类比到超分拆。注意到 Bringmann、Lovejoy 和 Osburn 引入了超分拆上的两类 crank，即第一剩余 crank 和第二剩余 crank。因而，对于第一剩余 crank $\overline{M}(m,n)$，我们证明了对于 $m\geq 1$ 且 $n\geq 3$ 有 $\overline{M}(m-1,n)\geq \overline{M}(m,n)$，以及对于 $m\geq 0$ 且 $n\geq 1$ 有 $\overline{M}(m,n)\geq \overline{M}(m,n+1)$。对于第二剩余 crank $\overline{M2}(m,n)$，我们证明了对于 $m\geq 1$ 且 $n\geq 0$ 有 $\overline{M2}(m-1,n)\geq \overline{M2}(m,n)$，以及对于 $m\geq 0$ 且 $n\geq 1$ 有 $\overline{M2}(m,n)\geq \overline{M2}(m,n+1)$。此外，设 $M_k(m,n)$ 表示 crank 为 $m$ 的 $n$ 的 $k$-着色分拆数，由 Fu 和 Tang 定义。他们猜想当 $k\geq 2$ 时，除 $k=2$ 且 $n=1$ 外有 $M_k(m-1,n)\geq M_k(m,n)$。借助不等式 $\overline{M}(m-1,n)\geq \overline{M}(m,n)$（对 $m\geq 1$ 且 $n\geq 3$），我们证实了该猜想。