超分拆秩的单调性性质

分拆的秩在拉马努金若干著名同余式的组合解释中起着重要作用。2005年和2008年，Lovejoy分别引入了超分拆的$D$-秩和$M_2$-秩。令$\overline{N}(m,n)$和$\overline{N2}(m,n)$分别表示$n$的具有$D$-秩$m$和$M_2$-秩$m$的超分拆的个数。2014年，Chan和Mao提出了关于$\overline{N}(m,n)$和$\overline{N2}(m,n)$单调性性质的一个猜想。本文中，我们证明了Chan-Mao单调性猜想。具体而言，我们证明对任意整数$m$和非负整数$n$，有$\overline{N2}(m,n)\leq \overline{N2}(m,n+1)$；且对$(m,n)\neq (0,4)$且$n\neq\, |m| +2$，有$\overline{N}(m,n)\leq \overline{N}(m,n+1)$。此外，当$m$增大时，我们证明对任意$m,n\geq 0$，有$\overline{N}(m,n)\geq \overline{N}(m+2,n)$和$\overline{N2}(m,n)\geq \overline{N2}(m+2,n)$，这是Chan和Mao关于分拆结果的一个类比。