超分拆的 $M_2$-秩模 $6$ 与 $10$

本文中，我们得到了超分拆的 $M_2$-秩模 $6$ 的不等式。令 $\overline{N}_2(s,m,n)$ 为 $n$ 的超分拆中其 $M_2$-秩模 $m$ 同余于 $s$ 的个数。对于模 $3$ 的 $M_2$-秩，Lovejoy 和 Osburn 推导了 $\overline{N}_2(s,3,n)-\overline{N}_2(t,3,n)$ 的生成函数，由此推出不等式 $\overline{N}_2(0,3,n)\geq\overline{N}_2(1,3,n)$。对于 $\ell=6, 10$，我们考虑 $M_2$-秩差 $\overline{N}_2(s,\ell,\ell n/2+d) + \overline{N}_2(s+1,\ell,\ell n/2+d) - \overline{N}_2(t,\ell,\ell n/2+d) - \overline{N}_2(t+1,\ell,\ell n/2+d)$ 的生成函数 $\overline{R}_{s,t}(d,\ell)$。借助 Lovejoy 和 Osburn 的方法，我们推导了 $\overline{R}_{0,2}(d,6)$ 的公式。这导出了对 $n\geq0$ 的不等式 $\overline{N}_2(0,6,3n)\geq\overline{N}_2(2,6,3n)$ 与 $\overline{N}_2(0,6,3n+1) \geq \overline{N}_2(2,6,3n+1)$。基于模函数的价公式，我们计算了 $\overline{R}_{0,4}(d,10)$ 与 $\overline{R}_{1,3}(d,10)$。特别地，我们注意到生成函数 $\overline{R}_{0,2}(2,6)$ 可用三阶 mock theta 函数 $\rho(q)$ 表示，而生成函数 $\overline{R}_{0,4}(4,10)$、$\overline{R}_{1,3}(1,10)$ 与 $\overline{R}_{1,3}(4,10)$ 也可用十阶 mock theta 函数 $\phi(q)$ 与 $\psi(q)$ 表示。