形如 $ax+by$ 的素数在具有小解区间中的分布

设 $1<a<b$ 为两个互素整数，$\mathbb{Z}_{\ge 0}$ 为非负整数集合。对于任意非负整数 $\ell$，记 $g_{\ell,a,b}$ 为满足方程 $$n=ax+by,\quad (x,y)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{2} \quad (1)$$ 解数至多为 $\ell$ 的最大整数 $n$。记 $\pi_{\ell,a,b}$ 为不超过 $g_{\ell,a,b}$ 且方程 (1) 解数至少为 $\ell+1$ 的素数个数，$\pi(x)$ 为不超过 $x$ 的素数个数。本文证明，当固定整数 $a\ge 3$ 且 $\gcd(a,b)=1$ 时，有 $$\pi_{\ell,a,b}=\left(\frac{a-2}{2(\ell a+a-1)}+o(1)\right)\pi\bigl(g_{\ell,a,b}\bigr)\quad(\text{当}~ b\to\infty).$$ 对任意非负整数 $\ell$ 和互素整数 $a,b$，满足 $e^{\ell+1}\leq a<b$，我们证明 $$\pi_{\ell,a,b}>0.005\cdot \frac{1}{\ell+1}\frac{g_{\ell,a,b}}{\log g_{\ell,a,b}}.$$ 记 $\pi_{\ell,a,b}^{*}$ 为不超过 $g_{\ell,a,b}$ 且方程 (1) 解数至多为 $\ell$ 的素数个数。对于整数 $a\ge 3$ 和充分大的整数 $b$，且 $\gcd(a,b)=1$，我们也证明 $$\pi^{*}_{\ell,a,b}>\frac{(2\ell+1)a}{2(\ell a+a-1)}\frac{g_{\ell,a,b}}{\log g_{\ell,a,b}}.$$ 此外，若 $\ell<a<b$ 且 $\gcd(a,b)=1$，则有 $$\pi^{*}_{\ell,a,b}>\frac{\ell+0.02}{\ell+1}\frac{g_{\ell,a,b}}{\log g_{\ell,a,b}}.$$ 这些结果推广了 Chen 和 Zhu（2025）的前期结果，他们针对 $\ell=0$ 的情况建立了相应结论。