不在数值半群中的素数个数

对于两个互素的正整数 $a$ 和 $b$，设 $\pi^*(a,b)$ 为不能表示为 $au+bv$（其中 $u,v$ 为非负整数）的素数个数。显然 $\pi^*(a,b)\le \pi(ab-a-b)$，其中 $\pi(x)$ 表示不超过 $x$ 的素数个数。本文证明 $\pi^*(a,b)\ge 0.04\,\pi(ab-a-b)$，并提出以下猜想：$\pi^*(a,b)\ge \frac{1}{2}\pi(ab-a-b)$。该猜想对 $1\le a\le 10$ 得到了验证。