克莱因群轨道中圆的渐近分布

设 $P$ 为平面上一个局部有限的圆填充，在非初等克莱因群 $\Gamma$ 下不变，且具有有限个 $\Gamma$ 轨道。当 $\Gamma$ 是几何有限时，我们构造了一个显式的平面 Borel 测度，该测度描述了 $P$ 中小圆的渐近分布，假设要么 $\Gamma$ 的临界指数严格大于 1，要么 $P$ 不包含在 $\Gamma$ 的抛物不动点处粘合的无穷多个相切圆的花束。我们的构造也适用于在几何无限群 $\Gamma$ 下不变的 $P$，前提是 $\Gamma$ 允许一个有限的 Bowen-Margulis-Sullivan 测度且 $P$ 的 $\Gamma$ 皮肤大小有限。我们的结果适用的一些具体圆填充包括阿波罗圆填充、谢尔宾斯基曲线、肖特基舞等。