关于多循环猜想

本文发展了 $k$-轨道理论的基础。该理论为研究群与多维对称性开辟了一条新的简便途径。发现了 $k$-轨道的组合对称性质与其自同构群之间的关系。找到了 $k$-轨道的局部性质。揭示了当 $m>2$ 时 2-闭群与 $m$-闭群之间的区别。解释了 Petersen 图自同构群 $n$-轨道的特殊性质。证明了任意非平凡本原群包含一个传递非本原子群，并由此证明了顶点传递图（2-闭群）的自同构群包含一个正则元（多循环猜想）。利用 $k$-轨道理论的方法，考虑了有限群置换表示的不同可能性，并指出相对于描述有限群结构而言，次数最低的置换表示信息量最大。利用该表示，得到了 W. Feit、J.G. Thompson 定理（奇阶群的可解性）的一个简单证明。描述了有限群最低次数表示足够简单的结构，并找到了构造有限群简单完全不变量的方法。最后，利用 $k$-轨道理论的方法，得到了图同构问题的一种可能的多项式解。