正特征下的多稳定性与不变量环的次数下界

我们发展了一种可检测闭轨道的表示论技术，适用于所有特征。我们的技术基于Kempf的最优子群理论，并从计算角度作了若干改进并简化了该理论。我们在许多例子中展示了该技术，特别地，给出了一个算法以判定$n$个变量的对称多项式是否具有闭${\rm SL}_n$轨道。作为一个重要应用，我们针对从几何复杂性理论（GCT）视角看十分重要的两个作用，证明了不变量环生成元系统的最大次数具有指数下界。其一是${\rm SL}(V)$在${\rm Sym}^3(V)^{\oplus 3}$（三元三次型空间）上的作用，其二是${\rm SL}(V) \times {\rm SL}(W) \times {\rm SL}(Z)$在张量空间$(V \otimes W \otimes Z)^{\oplus 5}$上的作用。在这两种情形中，我们均证明了生成不变量环或定义零锥的不变量系统的指数下次数界。