具有多项式增长的某些关系结构及其相关代数 II：有限生成性

关系结构 $R$ 的谱 (profile) 是函数 $\varphi_R$，它对每个整数 $n$ 计数由 $R$ 的 $n$ 元子集诱导的子结构数量 $\varphi_R(n)$（可能为无穷大），其中同构的子结构被视为同一。如果 $\varphi_R$ 仅取有限值，则它是与 $R$ 相关的分级代数（即 P.~J.~Cameron 引入的龄代数 (age algebra) $A(R)$）的 Hilbert 函数。在上一篇论文中，我们研究了关系结构的性质与其代数性质之间的关系，特别是当关系结构 $R$ 允许有限单态分解 (finite monomorphic decomposition) 时的情形。该设定仍然涵盖了研究充分的分级交换代数，如有限置换群的不变量环或准对称多项式环。在本文中，我们探讨了这些环的熟知代数性质在多大程度上可以推广到龄代数。主要结果是对龄代数何时为有限生成的给出了组合刻画。在竞赛图 (tournaments) 的特殊情况下，我们证明了龄代数是有限生成的当且仅当其谱是有界的。我们探讨了置换群胚 (permutation groupoids) 不变量特殊情况下的 Cohen-Macaulay 性质。最后，我们展示了使龄代数自然成为 Hopf 代数的关系结构的充分条件。