无有限单态分解的有序结构及其在遗传类轮廓中的应用

我们针对有限结构的遗传类之轮廓（即生成函数）行为中的跳跃现象，给出了某些结果的结构性研究方法。我们考虑由 N. Thi\'ery 与第二作者提出的下述概念。关系结构 $R$ 的\emph{单态分解}是其域 $V(R)$ 到一族集合 $(V_x)_{x\in X}$ 的划分，使得只要对每个 $x\in X$ 有迹 $A\cap V_x$ 与 $A'\cap V_x$ 大小相同，$R$ 在两个有限子集 $A$ 和 $A'$ 上的限制同构。令 $\mathscr S_\mu$ 为签名 $\mu$ 的、不具有有限单态分解的关系结构类。我们证明，若 $\mathscr S_\mu$ 的一个遗传子类 $\mathscr D$ 由有序关系结构组成，则它包含一个有限子集 $\mathfrak A$，使得 $\mathscr D$ 的每个成员都嵌入 $\mathfrak A$ 的某个成员。进而，对每个 $R\in \mathfrak A$，$R$ 的龄 $\age(R)$（由 $R$ 的有限子结构组成）的轮廓至少是指数级的。我们推得：若有限有序结构的遗传类的轮廓不被多项式从上界住，则其至少是指数级的。对于有序图，该结果是 Balogh、Bollob\'as 与 Morris（2006）所得分类的一部分。