分解视界与稳定遗传图类的刻画

具有有界树深基类的有界大小与拟有界大小分解的概念，是两位作者多年前引入的图稀疏性结构理论的核心，并为有界膨胀类与无处稠密类提供了刻画。该理论与模型论的紧密关联引出了对一阶转导（即逻辑定义的图变换）的考量，并开启了对图类的组合与模型论性质的比较研究，侧重模型论中的依赖（或称 NIP）与稳定等概念。本文中，我们首先证明：每一个具有依赖（相应地为稳定）基类的拟有界大小分解的遗传类自身也是依赖（相应地为稳定）的。该结果得自对“分解视界”（即与拟有界大小分解相容的类性质）的更一般性研究。我们推得：具有有界灌木深度基类的拟有界大小分解的遗传类是稳定的。在论文第二部分，我们证明逆命题。从而，我们将稳定遗传图类刻画为那些容许具有有界灌木深度基类的拟有界大小分解的遗传类。该结果通过证明每个稳定遗传图类容许几乎无处稠密的拟灌木表示而得到，从而肯定地回答了 Dreier 等人的一个猜想。这些结果有多个推论。例如，我们证明对稳定遗传图类 $\mathscr C$ 中的每张图 $G$，对每个 $\epsilon>0$，均含有一个大小为 $\Omega_{\mathscr C,\epsilon}(|G|^{1/2-\epsilon})$ 的团或稳定集，这在意义上是最优的，即无法改进为 $\Omega_{\mathscr C}(|G|^{1/2})$。