有界 Shrubs 深度的禁忌诱导子图及 MSO 表达力

Nikolas Mählmann

有界 Shrubs 深度的禁忌诱导子图及 MSO 表达力

计算机科学中的逻辑 2025-01-24 v1 离散数学组合数学逻辑

作者: Nikolas Mählmann

摘要

图参数 shrub-depth 是树深度的一个稠密类比。我们通过禁忌诱导子图来刻画 bounded shrub-depth 的类。这些阻塞对象是大半图的良好控制翻转以及许多长路径的不相交并联。应用这一刻画，我们表明，在每个hereditary类无界shrub-depth上，MSO 在表达力上优于 FO。这确认了 Gajarsk\'y 和 Hlin\v{e}n\'y; LMCS 2015 中的猜想；他们证明了在 bounded shrub-depth 的类上，FO 和 MSO 的表达力相同。结合这两个结果，我们完全刻画了 FO 和 MSO 一致的hereditary类，回答了 Elberfeld、Grohe 和 Tantau; LICS 2012 中的开放问题。我们的工作灵感来自模型论中的稳定性概念。如果没有 MSO 公式可以在来自 C 的图中定义任意长度的线性序，则图类 C 为 MSO-stable。我们证明，hereditary图类当且仅当具有有限 shrub-depth 时为 MSO-stable。作为关键步骤，我们证明了每个hereditary类无界shrub-depth的类中，FO 可解释所有路径的类。这改进了 Ossona de Mendez、Pilipczuk 和 Siebertz; Eur. J. Comb. 2025 中的结果，后者证明了相同声明仅适用于 FO-transductions 而非 FO-interpretations。

关键词

shrub-depth MSO 逻辑禁忌诱导子图表达力 hereditary 图类

引用

@article{arxiv.2501.13903,
  title  = {Forbidden Induced Subgraphs for Bounded Shrub-Depth and the Expressive Power of MSO},
  author = {Nikolas Mählmann},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2501.13903},
  year   = {2025}
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有界 Shrubs 深度的禁忌诱导子图及 MSO 表达力

摘要

关键词

引用

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