有界灌木深度类的若干经典模型论方面

我们考虑任意（有限或无限）有界灌木深度图类，具体而言是$p$-标记任意图类$\mathrm{TM}_{r, p}(d)$，其底层无标记图具有高度$d$和$r$个标记的树模型。我们证明该类满足经典Löwenheim-Skolem性质向有限和针对$\mathrm{MSO}$的扩展。该扩展是小型模型性质的一个推广，我们由此得到$\mathrm{TM}_{r, p}(d)$中的图是伪有限的。此外，我们作为推论获得了关于有界灌木深度类（有限图）和$\mathrm{TM}_{r, p}(d)$的若干已知结果的全新证明。这些包括具有初等界的对$\mathrm{MSO}$的小型模型性质、$\mathrm{TM}_{r, p}(d)$上模型论的经典紧致性定理，以及$\mathrm{MSO}$与$\mathrm{FO}$在$\mathrm{TM}_{r, p}(d)$上从而在有界灌木深度类上的等价性。最后一项的证明是通过改编刻画任意结构上$\mathrm{FO}$的经典Lindström定理证明而得到的。