浅子式、图乘积与超越平面图

Dujmović, Joret, Micek, Morin, Ueckerdt 和 Wood [J. ACM 2020] 的平面图乘积结构定理指出，每个平面图都是一个具有有界树宽的图与一条路径的强乘积的子图。这一结果已成为解决关于队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标记方案等重要开放问题的关键工具。在本文中，我们通过利用浅子式来证明几个超越平面图类的类似乘积结构定理，从而扩展了这一研究方向。推动我们工作的关键观察是，许多超越平面图可以描述为一个平面图与一个小完全图的强乘积的浅子式。特别地，我们证明了平面图的幂、$k$-平面图、$(k,p)$-簇平面图、扇平面图和 $k$-扇束平面图具有这样的浅子式结构。结合新旧结果，我们推断这些图类具有有界队列数、有界非连通色数、多项式 $p$-中心色数、线性强着色数和立方弱着色数。此外，我们证明了 $k$-间隙平面图至少具有指数局部树宽，因此，不能描述为一个具有有界树宽的图与一条路径的强乘积的子图。