Alon–Seymour–Thomas定理的乘积结构推广

Alon、Seymour和Thomas [1990]证明，每个排除$K_t$作为次要的$n$顶点图的树宽小于$t^{3/2}\sqrt{n}$。Illingworth、Scott和Wood [2022]近期改进了该结果，表明每个此类图都是某个树宽为$t-2$的图的子图，其中每个顶点被一个阶为$O(\sqrt{tn})$的完全图膨胀。通过解决Illingworth、Scott和Wood [2022]的一个开放问题，我们证明树宽界可降至$4$，同时保持阶为$O_t(\sqrt{n})$的膨胀。作为Lipton–Tarjan定理的推广，在平面图的情形下，我们表明树宽可进一步降至$2$，这是最优可能的。我们将该结果推广到$K_{3,t}$-次要自由图，其膨胀阶为$O(t\sqrt{n})$。该情形包含了可嵌入任意固定曲面的图。