排除树或锥树作为小图的图的爆炸结构

我们证明了排除树或锥树作为小图的图的爆炸结构定理。首先，对于每个 $t$ 顶点树 $T$（$t\geq 3$）且直径为 $h$，以及排除 $T$ 作为小图的图 $G$，存在直径至多为 $2h-1$ 的图 $H$，使得 $G$ 包含在 $H\boxtimes K_{t-2}$ 作为子图中。这一结果改进了 Dujmovi\'c 等人（2024）最近的定理，他们证明了相同结论，但对完全图在乘积中的阶数给出了更大的上界。其次，对于每个 $t$ 顶点树 $T$（$t\geq 2$），直径为 $h$，最大度为 $d$，以及排除由在 $T$ 上添加一个全称顶点得到的锥树 $T^+$ 作为小图的图 $G$，存在直径至多为 $4h-1$ 的图 $H$，使得 $G$ 包含在 $H\boxtimes K_{2(t-1)d}$ 作为子图中。$H$ 的直径上界在常数因子 $2$ 内是最佳的，并且改进了 Dujmovi\'c 等人（2024）最近结果推出的 $2^{h+2}-4$ 的上界。