对称群与共轭类

设 $S_n$ 为 $n$ 个字母上的对称群。固定 $n>5$。对于任意非平凡元素 $\alpha,\beta\in S_n$，我们证明共轭类 $\alpha^{S_n}$ 与 $\beta^{S_n}$ 的乘积 $\alpha^{S_n}\beta^{S_n}$ 绝不是一个共轭类。此外，若 $n$ 不是偶数且 $n$ 不是三的倍数，则 $\alpha^{S_n}\beta^{S_n}$ 是至少三个不同共轭类的并集。我们还描述了当 $\alpha^{S_n}\beta^{S_n}$ 恰好是两个不同共轭类的并集时，$S_n$ 中的元素 $\alpha,\beta$ 的情形。