有限群中一对元素共轭的概率
群论
2014-02-26 v2 组合数学
摘要
设 G 为有限群，令 κ(G) 为当 g, h ∈ G 独立且均匀随机选取时，元素 g 和 h 共轭的概率。本文对满足 κ(G) ≥ 1/4 的群 G 进行了分类，并证明当 κ(G)|G| < 7/4 时，G 是阿贝尔群。本文还证明了 κ(G)|G| 仅依赖于 G 的同倾类。针对对称群 S_n，本文证明 κ(S_n) ≤ C/n^2，其中 C 是一个明确确定的常数。这一界限为 Flajolet 等人关于当 n→∞ 时 κ(S_n) ~ A/n^2（A 为某常数）的结果提供了一个初等证明。同样的技术为 ρ(S_n)（对称群中两个元素的共轭元可交换的概率）提供了类似的结果。
引用
@article{arxiv.1108.1784,
title = {The probability that a pair of elements of a finite group are conjugate},
author = {Simon R. Blackburn and John R. Britnell and Mark Wildon},
journal= {arXiv preprint arXiv:1108.1784},
year = {2014}
}
备注
34 pages, corrected version, to appear in Journal of the London Mathematical Society