有限群中共轭子群的交换概率
群论
2025-05-16 v1
摘要
给定有限群 G 中的两个子群 H、K，记 H 与 K 中随机元素对的交换概率为 \pr(H,K)。本文关注以下问题：设 P 为有限群 G 的一个 p 子群，且 \pr(P,P^x)\geq\e>0 对所有 x\in G 成立，则 P 在模 O_p(G) 后的阶是否仅由 e 决定？本文在此问题上取得若干正面结果，但说明一般情况下答案为否。具体而言，我们证明：若 G 中同构于特征为 p 的简单 Lie 型群的同构因子的 Lie 秩至多为 n，则 P 在模 O_p(G) 后的阶仅由 n 与 e 决定。若 P 为 G 的 Sylow p 子群，则 P 在模 O_p(G) 后的阶仅由 e 决定。其他类似结论也被建立。此外，我们还证明：若对任意两个 Sylow p 子群 P_1、P_2 的置换概率 \pr(P_1,P_2)>0，则 O_{p,p'}(G) 在 G 中为开集。
引用
@article{arxiv.2505.10521,
title = {Commuting probability for conjugate subgroups of a finite group},
author = {Eloisa Detomi and Robert M. Guralnick and Marta Morigi and Pavel Shumyatsky},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.10521},
year = {2025}
}