预有限群西罗子群的对易概率

给定紧群 $G$ 的两个子群 $H$ 和 $K$，$H$ 中随机元素与 $K$ 中随机元素对易的概率记为 $Pr(H,K)$。我们证明，若 $G$ 是一个预有限群，包含一个西罗 $2$-子群 $P$、一个西罗 $3$-子群 $Q_3$ 和一个西罗 $5$-子群 $Q_5$，使得 $Pr(P,Q_3)$ 和 $Pr(P,Q_5)$ 均为正，则 $G$ 是虚拟可解的（定理 1.1）。此外，若 $G$ 是一个预可解群，其中对于每个子集 $\pi\subseteq\pi(G)$，都存在一个霍尔 $\pi$-子群 $H_\pi$ 和一个霍尔 $\pi'$-子群 $H_{\pi'}$ 使得 $Pr(H_\pi,H_{\pi'})>0$，则 $G$ 是虚拟幂零的（定理 1.2）。