关于有限群中子群的交换概率

设 $K$ 为有限群 $G$ 的一个子群。$G$ 中元素与 $K$ 中元素交换的概率记为 $Pr(K,G)$。假设对某个固定的 $\epsilon>0$ 有 $Pr(K,G)\geq\epsilon$。我们证明存在正规子群 $T\leq G$ 与子群 $B\leq K$，使得指数 $[G:T]$ 和 $[K:B]$ 以及换位子群 $[T,B]$ 的阶均为 $\epsilon$-有界的。这推广了 P. M. Neumann 的著名定理，该定理涵盖 $K=G$ 的情形。我们推导出该结果的若干推论。一个典型应用是：若 $K$ 为广义 Fitting 子群 $F^*(G)$，则 $G$ 有一个类 2 幂零正规子群 $R$，使得指数 $[G:R]$ 与换位子群 $[R,R]$ 的阶均为 $\epsilon$-有界的。同理我们考虑 $K$ 为 $G$ 的下中心级数的一项，或 Sylow 子群等情形。