有限群 Sylow 子群的交换概率

对于有限群 $G$ 的子集 $X,Y$，令 $Pr(X,Y)$ 表示两个随机元素 $x\in X$ 与 $y\in Y$ 可交换的概率。显然，有限群 $G$ 为幂零群当且仅当对 $G$ 的任意互素阶 Sylow 子群 $P$ 与 $Q$ 均有 $Pr(P,Q)=1$。设 $G$ 是一个有限群，其中对任意不同的素数 $p,q\in\pi(G)$，存在 Sylow $p$-子群 $P$ 与 Sylow $q$-子群 $Q$ 使得 $Pr(P,Q) \ge \epsilon$。我们证明 $F_2(G)$ 在 $G$ 中具有 $\epsilon$-有界指数。若 $G$ 是有限可解群，其中对任意素数 $p\in\pi(G)$，存在 Sylow $p$-子群 $P$ 与 Hall $p'$-子群 $H$ 使得 $Pr(P,H)\ge \epsilon$，则 $F(G)$ 在 $G$ 中具有 $\epsilon$-有界指数。此外，我们建立了 $G$ 的幂零性与可解性判据：若对任意素数 $p,q\in\pi(G)$，群 $G$ 有 Sylow $p$-子群 $P$ 与 Sylow $q$-子群 $Q$ 满足 $Pr(P,Q)>2/3$，则 $G$ 为幂零群；若对任意素数 $p,q\in\pi(G)$，群 $G$ 有 Sylow $p$-子群 $P$ 与 Sylow $q$-子群 $Q$ 满足 $Pr(P,Q)>2/5$，则 $G$ 为可解群。