关于有限可解群的高阶换位子子群的幂零性

设$G$为有限可解群，$G^{(k)}$为$G$的导群列的第$k$项。我们证明$G^{(k)}$是幂零的当且仅当对任意互素阶的$\delta_k$-值$a,b\in G$有$|ab|=|a||b|$。在证明过程中我们建立了如下具有独立意义的结论：设$P$为$G$的Sylow $p$-子群，则$P\cap G^{(k)}$由含于$P$中的$\delta_k$-值生成。这与所谓的焦点子群定理相关。