幂零化子对群结构的影响

对于有限群$G$和元素$x\in G$，子集$$nil_G(x)=\{y\in G \mid <x,y> ~~是~~ 幂零的\}$$称为$x$在$G$中的幂零化子。本文通过有限群中一个元素的幂零化子的结构和大小，给出了有限群的两个可解性判据。事实上，我们证明：如果存在$G$的一个元素$x$，使得$nil_G(x)$生成$G$的一个极大子群，并且$nil_G(x)$中元素的权重为$2$或$3$的简单交换子等于$1$，或者$|nil_G(x)|= p^n$，其中$p$为素数且$n=1,2$，那么$G$是可解群。