有限群的解题因子数目

考虑有限群 $G$, 对于任意元素 $x\in G$, $G$ 中 $x$ 的解题因子定义为 $Sol_G(x)=\{y \in G : \langle x, y \rangle \text{ 为可解}\}$。本文引入 $Solv(G)$ 作为元素在 $G$ 中不同解题因子的个数。若 $|Solv(G)|=n$, 则称该群为 $n$-解题因子。我们计算了 $Solv(G)$ 在各种非阿贝尔简单群中的值, 包括 $PSL(2, 2^n)$; $PSL(2, 3^n)$ 中 $n$ 为奇数的情形; 以及 $PSL(2, p)$ 中 $p>7$ 为素数的情形。此外, 我们证明对任意不可解群 $G$, $|Solv(G)|\geq 32$。最后, 我们在 GAP 中实现了一个用于计算任意不可解群 $G$ 中 $|Solv(G)|$ 的算法。该算法可适用于一般化于幂零群及其他闭合子群类的有限群的所有问题。