有限群的非可解图与可解化子

设 $G$ 为有限群。对于 $x \in G$，我们将 $x$ 在 $G$ 中的可解化子（记为 $sol_G(x)$）定义为集合 $\{g \in G \mid \langle g,x \rangle$ 是可解的$\}$。如果对于每个 $x \in G$，$sol_G(x)$ 都是 $G$ 的子群，则称群 $G$ 为 S-群。在本文中，我们证明了 $G$ 是可解的 $\Leftrightarrow$ $G$ 是 S-群。其次，我们定义了 $G$ 的非可解图（记为 ${\mathcal S}_{G}$）。其顶点为 $G$，当且仅当 $\langle x,y \rangle$ 不可解时，$x,y \in G$ 之间存在一条边。若 $S(G)$ 是 $G$ 的可解根且 $G$ 不可解，我们考察诱导子图 $G \setminus S(G)$，记为 $\hat{{\mathcal S}_{G}}$。我们证明了如果 $G$ 不可解，则 $\hat{{\mathcal S}_{G}}$ 是不规则的。此外，我们还证明了可解化子和非可解图的一些性质。