单群、交错乘积、复杂性及 Gowers 与 Viola 猜想

我们研究有限单群中共轭类乘积的分布，获得了各种有效的均匀性结果，从而近似于 Thompson 的一个猜想。我们的结果结合 Gowers 和 Viola 的工作，也解决了他们最近提出的交错乘积及相关复杂性下界猜想，将其在 SL$(2,q)$ 群上的工作推广到所有（非交换）有限单群。特别地可得，若 $G$ 是有限单群，且 $A, B \subseteq G^t$（$t \ge 2$）是固定正密度的子集，则当 $a = (a_1, \ldots , a_t) \in A$ 和 $b = (b_1, \ldots , b_t) \in B$ 一致选取时，交错乘积 $a \bullet b := a_1b_1 \cdots a_tb_t$ 关于 $\ell_{\infty}$-范数在 $G$ 上几乎是均匀的（带有定量估计）。还可得，当 $G$ 是秩有界的 Lie 型有限单群时，与 $a, b \in G^t$ 的交错乘积相关的旧决策问题的通信复杂性至少为 $\Omega(t \log |G|)$；当 $G$ 是任意有限单群时，至少为 $\Omega(t \log \log |G|)$。这两个下界都是最优可能的。